Boolesche Algebra und ihre Anwendungen by John Eldon Whitesitt

By John Eldon Whitesitt

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The legislation of idea" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden structures der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of inspiration" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders intestine eignet.

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B und c in einer Booleschen Algebra die folgenden vier Ausdriicke einander gleich sind: a) (a+b) (a' +c)(b +c) b) ac+a'b+bc d)ac+a'b. 7. Man zeige, daB die Menge {a. b. c. d} mit den unten definierten biniiren Operationen (+) und ( . ) eine Boolesche Algebra ist. c) (a+b) (a' +c) 3* 35 + a b c d a b c d a b c d b b b b c b c b d b b d a b c d a b c d a a a a a b c d a c c a a d a d 8. Man beweise, daB in einer Booleschen Algebra jedes Elemententripel a, b, c die Identitat ab+bc+ca = (a+b)(b+c)(c+a) erftillt.

2 Grundlegende Definitionen Sehr viele Mengen, mit denen sich die Mathematik beschaftigt, haben eine algebraische Struktur. Das heiBt, zwischen den Elementen der Menge sind eine oder mehrere Verkniipfungsregeln definiert. Die bekanntesten Beispiele solcher Mengen sind die verschiedenen Zusammenfassungen von Zahlen, wie die Menge alIer ganzen Zahlen, die Menge alIer reelIen Zahlen, die Menge aller komplexen Zahlen. Fiir die reellen Zahlen gibt es vier Verkniipfungsarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Man fiihre den Beweis fiir aO = 0 in Satz 3 vollstiindig aus und begriinde jeden Schritt mit dem richtigen Axiom. 2. Man zeige, daB die Menge B. die nur aus 0 und 1 allein besteht, zusammen mit den in den folgenden Tafeln definierten biniiren Operationen eine Boolesche Algebra ist. + o 1 o o 1 1 1 o 1 o 1 o o o 1 3. Man beweise fUr jede Boolesche Algebra: a+a'b = a+b fiir jedes Paar von Elementen a und b. 4. Man beweise, daB aus a+x = b+x und a+x' = b+x' folgt: a = b. (Anleitung: vgl. den Beweis von Satz 5) 5.

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