Algèbre Commutative: Méthodes constructives - Modules by Henri Lombardi, Claude Quitté

By Henri Lombardi, Claude Quitté

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Plus précisément. Transfert ⇒ Abstrait. Supposons la propriété vraie après localisation en tout idéal maximal. L’idéal donné par le principe de transfert ne peut pas être strict car sinon il serait contenu dans un idéal maximal m, ce qui est en contradiction avec le fait que la propriété est vraie après localisation en un s ∈ / m. 2. Principe local-global de base 19 Abstrait ⇒ Transfert. Pour chaque idéal maximal m sélectionnons un sm ∈ / m tel que la propriété P soit vraie après localisation en sm .

Caractère local de la cohérence . . . . . . . . Au sujet du test d’égalité et du test d’appartenance . . Anneaux et modules cohérents fortement discrets . . . 5 Un peu d’algèbre extérieure . . . . . . . . Sous-modules libres en facteur direct (splitting off) . . . Le rang d’un module libre . . . . . . . . . . Puissances extérieures d’un module . . . . . . . Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . .

Il peut être fait avec chacun des mineurs δ d’ordre r de A. Cela donne autant d’égalités δ s+t AB A = δ s+t+1 A. Une combinaison linéaire a δ = 1, élevée à une puissance suffisante, donne une égalité a δ s+t+1 = 1, d’où ABA = A pour B = a δ s+t B . Remarques. 1) Nous reviendrons sur l’égalité ABA = A en utilisant une formule magique à la Cramer, cf. 3. 2) Dans le dernier exemple, nous nous sommes directement inspirés du ✭✭ théorème du rang ✮✮ qui affirme que si une application lisse ϕ : U → Rk a un rang constant r en tous les points de V = { x ∈ U | ϕ(x) = 0 } alors V est une sous variété lisse de codimension r de l’ouvert U ⊆ Rn .

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