Algebra und Diskrete Mathematik 2: Lineare Optimierung, by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Band 2 besteht aus den drei Teilen: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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1 am,m+1 am,m+2 . . amn (IV) F¨ ur alle i ∈ {1, 2, . . , m} gilt bi > 0. 3, (2) folgt hieraus und aus (III), daß x0 := (b1 , b2 , . . , bm , 0, 0, . . 2 Herleitung des Simplexalgorithmus 25 Dieses LOP l¨ aßt sich schematisch auch wie folgt aufschreiben: xm+1 xm+2 . . xn cm+1 cm+2 . . cn x1 c1 a1,m+1 a1,m+2 . . an b1 x2 c2 a2,m+1 a2,m+2 . . an b2 .. .. ....................... . xm cm am,m+1 am,m+2 . . an bm Die Variablen x1 , x2 , . . , xm , deren Koeffizienten zu einer Einheitsmatrix zusammengefaßt werden k¨ onnen und die wir oben links neben der Tabelle angeordnet haben, heißen Basisvariable (kurz: BV).

12) erf¨ ullt ist, wie folgt aus: xm+1 cm+1 a1,m+1 a2,m+1 ... xj−1 ... cj−1 ... a1,j−1 ... a2,j−1 xj cj a1j a2j xj+1 cj+1 a1,j+1 a2,j+1 ... xn ... cn ... a1n ... a2n −1 0 c1 b1 h1 c2 b2 h2 .. .. .............................................. . xi−1 ci−1 ai−1,m+1 ... ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 ... ai−1,n bi−1 hi−1 xi ci ai,m+1 ... ai,j−1 aij ai,j+1 ... ain bi hi = abiji xi+1 ci+1 ai+1,m+1 ... ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 ... ai+1,n bi+1 hi+1 .. .. . ..............................................

0 zul¨ assige L¨ osungen dieses LGS sind. Bildet man nun f (xα ) = c1 b1 + c2 b2 + . . + cm bm −α · (−cm+1 + a1,m+1 c1 + a2,m+1 c2 + . . + am,m+1 cm ) = c1 b1 + c2 b2 + . . + cm bm − α · gj >0 so sieht man, daß, falls α −→ ∞, f (xα ) gegen −∞ strebt. Folglich ist f nicht nach unten beschr¨ ankt. 6) beschr¨ ankt, so findet man zu einem j ∈ {m + 1, m + 2, . . , n} mit gj > 0 stets ein i mit bk bi = min . 6), das nur die Bedingungen (III) und (IV ) erf¨ gm+1 ≤ 0, gm+2 ≤ 0, . . 6) ablesbare Ecke x0 := (b1 , b2 , .

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